Feb 132016
 
Como sintonizar un control PI por cancelamiento de Polos
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El diseño por canelamiento de polos de un controlador PI, es de los diseños más rápidos que podemos emplear a la hora de proyectar nuestro sistema de control.

 

La idea básica de este diseño, es cancelar la dinámica de nuestra planta con el cero del controlador.

 

Por ejemplo, si tenemos una planta representada por una función de transferencia de primer orden, su representación seria

G(s)=\dfrac{K_p}{(\tau s+1)}

El controlador PI viene dado por la expresión

C(s)=\dfrac{K_c (T_i s+1)}{T_i s}

La idea esencial de este controlador es colocar el polo de nuestra función de transferencia de la planta igual al cero de nuestro controlador PI.

{T_i}=\tau

Asi, solo nos faltaría encontrar el parámetro proporcional del controlador K_c. Y ese parametro lo encontraremos dependiendo del tipo de respuesta que queramos en nuestro sistema. A continuación veremos el diagrama de bloques convencional de un sistema de control:

Sistema de Control

Del diagrama de bloques podemos obtener la función de transferencia de Lazo Cerrado del sistema:

H(s)=\dfrac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)}

Luego reemplazamos los valores de G y de C, en la función de transferencia de lazo cerrado.

H(s)=\dfrac{\dfrac{K_c (T_i s+1)}{T_i s}\dfrac{K_p}{(\tau s+1)}}{1+\dfrac{K_c (T_i s+1)}{T_i s}\dfrac{K_p}{(\tau s+1)}}

Note que como {T_i}=\tau los polos y ceros se cancelan quedando la ecuación en lazo cerrado asi:

H(s)=\dfrac{\dfrac{K_cK_p}{T_i s}}{1+\dfrac{K_c K_p}{T_i s}}

Reorganizando la ecuación, nuestra función de transferencia de lazo cerrado final seria:

H(s)=\dfrac{K_cK_p}{T_is+K_cK_p}=\dfrac{1}{\dfrac{T_i}{K_cK_p}s+1}

El termino \dfrac{T_i}{K_cK_p} es la constante de tiempo de lazo cerrado, vamos a llamar todo ese termino como T_d, nosotros como ingenieros de control definimos esa constante de tiempo, dependiendo del tiempo que deseemos que nuestro sistema estabilice. Por ejemplo, si queremos que nuestro sistema se estabilice por decir algo en 20 segundos, vamos a necesitar una constante de tiempo en lazo cerrado de 5 segundos asi (recordando que un sistema se estabiliza en 4 veces su constante de tiempo 4\tau):

T_d=\dfrac{20}{4}=5

Como nosotros mismos definimos la constante de tiempo deseada, podremos obtener fácilmente el parámetro proporcional del controlador asi:

T_d=\dfrac{T_i}{K_cK_p}\rightarrow K_c=\dfrac{T_i}{T_dK_p}

La unica desventaja de este controlador por cancelación de polo, es que la velocidad del rechazo de perturbación queda igual a la velocidad de malla abierta de la planta. Si analizamos la funcion de transferencia desde la perturbación q hasta la salida y tenemos:

Q(s)=\dfrac{G(s)}{1+C(s)G(s)}

Luego reemplazamos los valores de G y de C, en la función de transferencia de lazo cerrado de la perturbación.

Q(s)=\dfrac{\dfrac{K_p}{(\tau s+1)}}{1+\dfrac{K_c (T_i s+1)}{T_i s}\dfrac{K_p}{(\tau s+1)}}

Reorganizando la ecuación recordando que {T_i}=\tau , nuestra función de transferencia de lazo cerrado final para la perturbación seria:

Q(s)=\dfrac{K_pT_is}{(T_is+K_cK_p)(T_is+1)}

Vemos que en el denominador de la función de transferencia aparece el polo {T_i} que es el mismo polo de la función de transferencia de nuestra planta \tau, lo que ratifica que este control no acelera el rechazo de perturbaciones.

A continuación te dejo un video en Youtube que yo mismo hice, para explicarte el funcionamiento de este controlador, al final del video hay un ejemplo resuelto para que entiendas mejor el concepto. Espero hayas aprendido algo nuevo el dia de hoy y recuerda que compartir y dar me gusta es una excelente forma de agradecer.

 

 

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