Sep 182016
 
CALIFICA EL POST

Una forma de obtener la representación discreta del sistema representado en variables de estados es usando la aproximación de Euler

\dot{x}(t)\approx \dfrac{x(t+T)-x(t)}{T}

Con esto podemos aproximar un sistema continuo tomando el próximo valor del estado menos el valor actual dividido por el periodo de muestreo. Note que esta ecuación es aproximada a una derivada. Esta aproximación se conoce como Euler para al frente.

Usando esa aproximación se tiene que:

x(t+T)=x(t)+TAx(t)+TBu(t)

y así estimando apenas los valores de x(t) y de y(t) apenas en los instantes t=KT se consigue llegar al siguiente modelo aproximado.

x[k+1]=(I+TA)x[k]+TBu[k]

y[k]=Cx[k]+Du[k]

Discretización por ZOH

ZOH

si la entrada u(t) es generada por un computador digital seguido por un conversor DA y manteniendo el valor durante el periodo de muestreo se tiene que:

u(t)=u(kT)=u[k], para kT< t \leq (k+1)T

para esa señal de entrada la solución del sistema continuo es dado por:

x[k]=e^{AkT}x(0)+\int_{0}^{kT}e^{A(kT-\tau)}Bu(\tau)d\tau

x[k+1]=e^{A(k+1)T}x(0)+\int_{0}^{(k+1)T}e^{A((k+1)T-\tau)}Bu(\tau)d\tau

Manipulando la expresión anterior

x[k+1]=e^{AT}\left [e^{AkT}x(0)+\int_{0}^{kT}e^{A(kT-\tau)}Bu(\tau)d\tau \right]+\int_{kT}^{(k+1)T}e^{A(kT+T-\tau)}Bu(\tau)d\tau

x[k+1]=e^{AT}x[k]+\left [\int_{0}^{T}e^{A\alpha}d\alpha\right]Bu[k]

Si las salidas también son determinadas en los instantes t=KT.

x[k+1]=A_dx[k]+B_du[k]

y[k]=C_dx[k]+D_du[k]

donde las matrices del modelo discretizado son:

A_d=e^{AT},B_d=\left (\int_{0}^{T}e^{A\alpha}d\alpha\right)B,C_d=C,D=D_d

La determinación de la matriz B puede simplificarse cuando A sea no singular.

B_d=A^{-1}(A_d-I)B

Este modelo no tiene ninguna aproximación y es una solución exacta del sistema en los instantes de tiempo t=KT

En MATLAB puede calcularse como:

>>[Ad,Bd]=c2d(A,B,T);

La expresión de la solución de sistemas discretos se puede obtener fácilmente como:

x[1]=Ax[0]+Bu[0]

x[2]=Ax[1]+Bu[1]=A^2x[0]+ABu[0]+Bu[1]

generalizando el termino k

x[k]=A^kx[0]+\sum_{m=0}^{k-1} A^{k-1-m}Bu[m]

y[k]=CA^kx[0]+\sum_{m=0}^{k-1} CA^{k-1-m}Bu[m]+Du[k]

 

Si te sirvió de algo la información de la pagina, podrías invitarme a un café y ayudarme a seguir manteniendo en pie el sitio WEB. Solo cuesta $2USD y me ayudarías enormemente a seguir con mi trabajo. Muchas Gracias por tu visita.




 Leave a Reply

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code class="" title="" data-url=""> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong> <pre class="" title="" data-url=""> <span class="" title="" data-url="">

(required)

(required)